Rätsel der Woche: Gelingt das Versteckspiel auf den Türmen?

Ein gutes Versteck ist ein Segen. Im folgenden Rätsel wollen 13 Kinder 35 große Türme dazu benutzen, von niemandem mehr gesehen zu werden. Jedes Kind sucht sich einen Turm und stellt sich direkt ans Fenster, um andere Kinder zu erspähen. Es darf höchstens ein Kind in einen Turm!

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Die 35 Türme stehen gleichmäßig verteilt im Kreis, also auf den Eckpunkten eines regelmäßigen 35-Ecks. Wegen der dicken Mauern ist der Ausblick aus dem Fenster eingeschränkt. Jedes Kind kann von seinem Turm aus nur die zwölf am weitesten entfernten Türme sehen.

Die 13 Kinder wollen sich so über die Türme verteilen, dass kein Kind ein anderes Kind sehen kann.

Zeigen Sie, dass dies unmöglich ist!

Wir wählen ein beliebiges Kind und nennen es K. Es befindet sich in einem Turm, den wir mit T₀ bezeichnen. Neben T₀ gibt es 34 weitere Türme. 17 Türme stehen links von T₀ und 17 Türme rechts davon.

Wir bezeichnen die Türme links von T₀ mit T_-1, T_-2, … bis T_-17 und die Türme rechts von T₀ mit T₁, T₂, … bis T₁₇. Siehe folgende Skizze:

Der Beweis ist indirekt: Wir nehmen an, es gibt eine Verteilung, bei der kein Kind ein anderes Kind sehen kann. Doch dies führt zu einem Widerspruch, wie wir gleich sehen werden, weshalb die Annahme falsch sein muss.

Weil Kind K nur die zwölf Türme auf der gegenüberliegenden Seite sehen kann, sind die (35 – 12 – 1)/2 = elf Türme links und rechts von T₀ für K nicht sichtbar. In diesen insgesamt 22 Türmen müssen sich alle übrigen Kinder befinden, damit K keines von ihnen sehen kann. Weil links und rechts je nur elf Türme für die zwölf Kinder zur Verfügung stehen, muss es auf beiden Seiten von T₀ mindestens einen Turm mit einem Kind darin geben.

Wir bezeichnen mit T_-L den am weitesten von T₀ entferntesten und mit einem Kind besetzten Turm auf der linken Seite. T_R ist der am weitesten von T₀ entfernte und besetzte Turm auf der rechten Seite. Es muss dann gelten:

L ≤ 11
R ≤ 11

Außerdem muss gelten: L + R ≥ 12, weil sich links und rechts von T₀ zusammen zwölf Kinder befinden, und zwar jedes in einem anderen Turm.

Wir schauen nun auf die beiden Kinder in den Türmen T_-L und T_R. Können sie sich sehen oder nicht? Damit sie einander nicht sehen können, dürfen zwischen ihnen höchstens zehn Türme stehen. Warum? Ein Kind kann jeweils die nächsten elf Türme links und rechts nicht sehen. Der Zwischenraum kann daher maximal zehn sein.

Aber wie groß ist der Abstand tatsächlich? Wir müssen in beide Richtungen schauen:

• Türme zwischen T_-L und T_R auf der T₀ zugewandten Seite: Zwischen T_-L und T₀ stehen L – 1 Türme, zwischen T_R auf der T₀ sind es R – 1 Türme. Inklusive T₀ befinden sich zwischen T_-L und T_R L – 1 + R – 1 + 1 = L + R – 1 Türme. Wegen L + R ≥ 12 ist diese Zahl ≥ 11.

• Türme zwischen T_-L und T_R auf der T₀ abgewandten Seite: Die Anzahl beträgt 17 – L + 17 – R = 34 – (L + R) Türme. Wegen L ≤ 11 und R ≤ 11 ist diese Zahl ≥ 12.

Aus all dem folgt, dass sich die Kinder in den Türmen T_-L und T_R auf jeden Fall sehen können. Damit ist die Annahme, dass es eine Aufteilung der 13 Kinder gäbe, falsch.

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